크루스칼 알고리즘과 DSU를 활용한 최소 신장 트리 기반 도시 분할 및 비용 최적화

핵심 기술

본 콘텐츠는 그래프 탐색 및 최적화 문제 해결을 위한 핵심 알고리즘으로 크루스칼 알고리즘과 서로소 집합(DSU) 자료구조를 활용합니다. 주어진 도시의 집(정점)과 길(간선) 정보를 바탕으로, 마을을 두 개의 분리된 집합으로 나누면서 각 집합 내에서는 모든 집이 연결되도록 유지하고, 전체 길 유지비의 합을 최소화하는 방법을 탐구합니다.

기술적 세부사항

• 문제 정의: N개의 집과 M개의 길로 이루어진 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할하되, 각 분리된 마을 내에서는 모든 집이 연결되어야 하며, 총 길 유지비의 합을 최소화해야 합니다.
• 핵심 아이디어: 전체 마을을 하나의 최소 신장 트리(MST)로 연결한 후, MST에서 가장 비용이 큰 간선 하나를 제거하여 두 개의 분리된 마을을 생성하는 방식입니다. 이를 통해 각 분리된 마을 내에서는 여전히 연결성을 유지하면서 총 유지 비용을 최적화할 수 있습니다.
• 알고리즘 채택: MST 구축을 위해 크루스칼 알고리즘이 사용됩니다. 이는 모든 간선을 비용 순으로 정렬하고, 사이클을 형성하지 않는 간선만을 선택하여 트리를 확장하는 방식입니다.
• 사이클 탐지 및 그룹화: 서로소 집합(Disjoint Set Union, DSU) 자료구조가 사용되어 간선 추가 시 사이클이 발생하는지 효율적으로 판단합니다. find 연산으로 정점의 그룹 대표를 찾고, union 연산으로 두 정점이 속한 그룹을 합칩니다. union 연산은 트리의 높이(rank)를 고려하여 효율성을 높입니다.
• 구현 상세: Edge 클래스는 길의 시작점(from), 도착점(to), 유지비(cost)를 저장합니다. Disjoint 클래스는 DSU의 parent와 rank 배열을 관리하며 find 및 union 메서드를 제공합니다.
• 비용 계산: 크루스칼 알고리즘으로 MST를 구성하면서, 선택된 간선들의 비용을 total 변수에 누적합니다. 동시에, MST 구성 중 가장 큰 비용을 가진 간선의 비용은 maxMSTCost에 기록합니다.
• 최종 결과: 전체 MST 비용(total)에서 가장 큰 간선 비용(maxMSTCost)을 제외한 값이 최종적으로 요구되는 최소 유지 비용이 됩니다.

개발 임팩트

이 문제는 그래프 이론의 기본 개념과 핵심 알고리즘의 실제 적용 사례를 보여줍니다. 복잡한 네트워크를 효율적으로 관리하고 비용을 최적화하는 방법을 학습함으로써, 실제 시스템 설계 및 운영에서 발생할 수 있는 다양한 문제 해결 능력을 향상시킬 수 있습니다. 특히, 알고리즘적 사고력을 요구하는 코딩 테스트나 실무 문제 해결에 큰 도움이 됩니다.