머신러닝의 핵심, 고유값과 고유벡터: 개념부터 응용까지 완벽 해부

핵심 기술: 고유값(Eigenvalue)과 고유벡터(Eigenvector)는 선형 변환(행렬)이 벡터의 방향과 크기에 미치는 영향을 이해하는 데 필수적인 수학적 개념이며, 머신러닝의 다양한 알고리즘에서 핵심적인 역할을 수행합니다.

기술적 세부사항:
* 정의: 행렬 A에 의해 변환될 때 방향은 변하지 않고 크기만 λ 배 변하는 특수한 벡터 v를 각각 고유벡터, 고유값이라고 합니다 (Av = λv).
* 수학적 표현: 고유값을 찾기 위해 특성 방정식 det(A - λI) = 0을 풀어 λ의 근을 구합니다. 이후 Av = λv에 대입하여 해당 고유벡터 v를 계산합니다.
* Python 예제: NumPy 라이브러리의 np.linalg.eig() 함수를 사용하여 행렬의 고유값과 고유벡터를 효율적으로 계산할 수 있습니다.
* 고유분해 (Eigen Decomposition): 행렬 A를 고유벡터 행렬 V와 고유값 대각행렬 Λ를 이용해 A = VΛV⁻¹ 형태로 분해하여 행렬의 근본적인 구조를 파악합니다.

개발 임팩트:
* 차원 축소: PCA(Principal Component Analysis)는 공분산 행렬의 고유벡터를 사용하여 데이터의 분산을 최대한 보존하는 주성분(principal components)을 추출하여 차원 축소를 수행합니다.
* 추천 시스템: 사용자-아이템 상호작용 행렬의 고유분해를 통해 사용자 선호도와 아이템 특성을 나타내는 잠재 요인을 파악합니다.
* 군집화: 그래프의 라플라시안 행렬 고유벡터를 활용하는 스펙트럼 군집화(Spectral Clustering) 기법에 사용됩니다.
* 자연어 처리: LSA(Latent Semantic Analysis)와 같은 기법에서 단어 간의 의미론적 관계를 포착하는 데 활용됩니다.

기술적 한계:
* 계산 비용: 대규모 행렬의 고유값/고유벡터 계산은 계산량이 많을 수 있습니다.
* 잡음에 민감: 데이터의 노이즈에 결과가 민감하게 반응할 수 있습니다.
* 비정방 행렬: 표준 고유분해는 정방 행렬에만 적용되며, 비정방 행렬의 경우 SVD(Singular Value Decomposition)와 같은 다른 기법이 사용됩니다.

향후 전망: 대규모 데이터셋에 대한 효율적인 알고리즘 개발, 노이즈에 대한 강건성 향상, 딥러닝 및 그래프 신경망 등 신규 분야로의 적용 확대 연구가 지속될 것입니다.