고델의 첫 번째 불완전성 정리와 타입스크립트를 이용한 증명

카테고리

프로그래밍/소프트웨어 개발

서브카테고리

바이브코딩

대상자

• 대상자: 프로그래밍 및 수학 이론에 관심 있는 개발자, 이론 컴퓨터 과학자, 대학 수학/컴퓨터공학 전공자
• 난이도: 중간 수준 (타입스크립트 기초 및 수리 논리 지식 필요)

핵심 요약

• 고델의 첫 번째 불완전성 정리: 일관성과 복잡도가 충분한 형식 시스템은 완전하지 못하다 (타입스크립트로 시뮬레이션 가능).
• 타입스크립트 구현 핵심:

- Statement 타입: (...params: number[]) => boolean | unknown

- getGoedelNumber: 함수의 문자열 해시로 고델 수 생성 (getStringHash)

- isProvable: Map을 이용해 고델 수에 대응하는 명제의 증명 가능 여부 판단

• 불가능한 명제 생성: 재귀를 이용한 unprovableStatement로 정리의 핵심 개념(자기 참조 불가능성)을 시뮬레이션

섹션별 세부 요약

1. 형식 시스템의 기초 정의

• 고델의 원리:

- 기본 연산자(반사적, 대칭적, 추이적 등)를 고유한 수로 매핑 (예: A => A === A)

- TypeScript에서 Statement 타입으로 정의: (...params: number[]) => boolean | unknown

• 예제:

- STATEMENTS 배열에 반사, 대칭, 추이성 등 기본 논리 성질 정의

2. 고델 수 생성 및 시스템 매핑

• 고델 수 생성:

- getGoedelNumber 함수: getStringHash(${statement})로 문자열 해시 사용

- 시스템 내 모든 명제에 고델 수 할당 (Map 사용)

• 형식 시스템 구조:

- formalSystem = new Map(STATEMENTS.map(...))로 명제와 고델 수 매핑

3. 명제의 증명 가능 여부 판단

• isProvable 함수:

- Map.get(goedelNumber)(...)의 반환 타입이 boolean인지 확인

- typeof formalSystem.get(...)(...) === 'boolean'

• 시뮬레이션 예시:

- formalSystem.forEach(...)로 모든 명제의 증명 가능 여부 로깅

4. 불가능한 명제 생성 및 정리 시뮬레이션

• 불가능한 명제 정의:

- unprovableStatement = () => isProvable(getGoedelNumber(...)) === false

- 자기 참조로 증명 불가능한 명제 생성

• 결과:

- 시스템이 명제를 증명하면 모순, 증명하지 않으면 참이지만 증명 불가능

- Map에 unprovableStatement 추가 후 isProvable 실행 시 예외 처리

결론

• 실무 적용 팁:

- 타입스크립트로 고델의 정리를 시뮬레이션할 때, 재귀와 해시 함수를 이용해 고델 수 생성 가능

- 자기 참조 명제는 형식 시스템의 한계를 명확히 보여줌

- 이는 이론 컴퓨터 과학 및 형식 검증 분야에서 중요한 실천적 통찰 제공