최대 제곱 합 분할 문제 해결 방법

카테고리

프로그래밍/소프트웨어 개발

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알고리즘

대상자

알고리즘 최적화, 대규모 데이터 처리, 경쟁 프로그래밍에 관심 있는 개발자 및 학생. 난이도는 고급 수준.

핵심 요약

• Prefix sum을 활용해 범위 합 계산을 O(1)로 최적화.
• 동적 프로그래밍(DP)을 사용하여 dp[j][i]로 j개의 분할에서 i개 요소까지의 최대 점수를 계산.
• Li Chao Tree를 통해 DP 전이의 O(n log n) 복잡도를 달성.

섹션별 세부 요약

1. Prefix Sum 계산

• 배열의 누적 합을 저장해 임의의 구간의 합을 O(1)로 계산.
• 예: prefix[i] = prefix[i-1] + arr[i-1].
• BigInt 타입 사용으로 큰 수 계산 오류 방지.

2. 동적 프로그래밍(DP) 설계

• dp[j][i]는 j개 분할에서 i개 요소까지의 최대 점수.
• dp[k][n]이 최종 해.
• 전이식: dp[j][i] = max(dp[j-1][t] + (sum(t+1~i))^2) for t in [j-1, i-1].

3. Li Chao Tree를 통한 최적화

• 각 분할 경계를 직선(slope, intercept)으로 표현.
• Li Chao Tree로 O(log S) 시간 내 최대값 쿼리.
• 전체 복잡도: O(k × n log S) (S: 합의 범위).

4. 코드 구현 요소

• BigInt 사용으로 정확한 수치 처리.
• Li Chao Tree의 insert 및 query 메서드 구현.
• dpPrev 및 dpCurr 배열을 활용한 메모리 최적화.

결론

• 대규모 데이터(n ≤ 200,000) 처리 시 O(n²k) 알고리즘 대신 Li Chao Tree 기반 DP를 사용해야 함.
• Prefix Sum과 Line Container Trick은 고성능 알고리즘 설계의 핵심.
• 코드에서 BigInt 사용은 정확한 수치 연산을 보장.