요세푸스 문제: k=2일 때의 O(1) 시간 복잡도 해법
카테고리
프로그래밍/소프트웨어 개발
서브카테고리
데이터 분석
대상자
- 알고리즘 및 수학적 패턴 분석에 관심 있는 소프트웨어 개발자 및 컴퓨터 과학 학생
- 중급 이상의 수준의 개발자: 비트 조작 및 수학적 공식 활용에 대한 이해가 필요
핵심 요약
- k=2일 때의 요세푸스 문제는 O(1) 시간 복잡도로 해결 가능하며, 공식은
2 × (n - L) + 1
(L은 n 이하의 최대 2의 거듭제곱) - 비트 조작을 활용한
1 << (31 - __builtin_clz(n))
과 같은 코드 패턴이 핵심 - 일반적인 k 값에 대해서는 시뮬레이션 또는 재귀가 필요
섹션별 세부 요약
1. 문제 정의
- n명의 사람이 원형으로 서 있고, k번째 사람을 순차적으로 제거하는 문제
- 예: n=7, k=3일 때 생존자는 4번 위치
- 일반적인 문제는 O(n) 시간 복잡도로 재귀로 해결 가능
2. k=2일 때의 특별한 패턴
- 제거되는 인원은 2의 거듭제곱(2,4,6...) 순서로 진행
- 생존자 위치는
n - L
(L: n 이하의 최대 2의 거듭제곱)을 기반으로 계산
3. O(1) 해법 공식
- 공식:
Josephus(n) = 2 × (n - L) + 1
- L 계산:
- C++: 1 << (31 - __builtin_clz(n))
- JavaScript: 1 << (31 - Math.clz32(n))
- Python: 1 << (n.bit_length() - 1)
4. 일반적인 k 값에 대한 해법
- k=2 외의 경우 시뮬레이션 또는 재귀적 접근이 필요
- 시간 복잡도는 O(n log k) 또는 O(n)
결론
- k=2일 때의 요세푸스 문제는 비트 조작을 활용한 O(1) 공식으로 해결 가능
1 << (31 - __builtin_clz(n))
과 같은 비트 연산 코드 패턴을 활용해 L 값을 빠르게 계산해야 함- 일반적인 k 값에 대해서는 시뮬레이션 또는 재귀가 필수적임